No hace mucho, oí hablar de las curiosidades que rodean al número 23. Un número, por cierto, muy importante para mí, y por el que quiero dedicar esta entrada a una persona muy especial.
A pesar de ser bastantes estas peculiaridades, de momento únicamente quiero centrarme en una de las que incumben a esta cifra: la conocida como paradoja del cumpleaños.
Supongamos que tenemos a 23 personas cualesquiera, escogidas al azar, dentro de una habitación. ¿Qué probabilidades crees que hay de que, al menos dos de esos sujetos, cumplan años el mismo día del año?
Lo normal es que la probabilidad sea muy baja o, al menos, muy por debajo del 50%, ¿no?
Pues si así lo crees, en contra de toda aparente lógica, te equivocas. La realidad, ciertamente, es muy distinta: en una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad
de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0,507, es decir, hay un 50,7% de probabilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.
O sea, que si tenemos a 23 personas en un cuarto, lo más sorprendente sería que ninguna de ellas celebrase su cumpleaños el mismo día, y si aumentamos el número de individuos hasta 57, las probabilidades son superiores al 99%. Sorprendente, ¿verdad? Pero... ¿cuál es la explicación a esto?
En primer lugar, cabe destacar que, en sentido estricto, esto no es una paradoja, ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice la común intuición.
La clave para comprender la paradoja del cumpleaños es pensar que hay
muchas probabilidades de encontrar parejas que cumplan años el mismo
día. Específicamente, entre 23 personas, hay 23×22/2 = 253 pares, cada
uno de ellos un candidato potencial para cumplir la paradoja.
Asimismo, hay que
entender que si una persona entrase en una habitación con 22 personas,
la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que quien
entra, no es del 50%, es mucho más baja. Esto es debido a que ahora sólo
hay 22 pares posibles. El problema real de la paradoja del cumpleaños
consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.
La probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes viene dada por:
Con n = 22 obtenemos una probabilidad de 0,475695. Con n = 23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0,507297. Con n = 25 estamos ya en 0,5687.
Y si vamos aumentando el número de personas del grupo:
Para n = 30, la probabilidad es de 0,706316, poco más del 70%.
Para n = 35, la probabilidad es de 0,814383, poco más del 81%.
Para n = 40, la probabilidad es de 0,891232, casi del 90%.
Para n = 45, la probabilidad es de 0,940976, cerca del 95%.
Para n = 50, la probabilidad es de 0,970374, más del 97%.
Para n = 60, la probabilidad es de 0,994123, más del 99%.
Para n = 35, la probabilidad es de 0,814383, poco más del 81%.
Para n = 40, la probabilidad es de 0,891232, casi del 90%.
Para n = 45, la probabilidad es de 0,940976, cerca del 95%.
Para n = 50, la probabilidad es de 0,970374, más del 97%.
Para n = 60, la probabilidad es de 0,994123, más del 99%.
Es a partir de n = 57 cuando la probabilidad es mayor del 99%, y es con n = 366 (no teniendo en cuenta los años bisiestos) que alcanzamos, evidentemente, el 100% de probabilidad de que, al menos dos de los individuos, cumplan años el mismo día.
Ya que, con la reciente victoria del Barça de España en la Eurocopa, últimamente todo va de fútbol, si pinchas aquí podrás leer una explicación del fenómeno ejemplificada con el mencionado campeonato.
Fuentes:
